تكامل \( \sin^3(x) \cos^2(x) \)

الاشتقاق خطوة بخطوة باستخدام المتطابقات المثلثية والتعويض، الصيغة، والمراجع

الاشتقاق والتقييم

قيم التكامل:

\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \]

أعد كتابة التكامل عن طريق فصل عامل جيب منفرد:

\[ = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) وعوض بها:

\[ = \int (1 - \cos^2 x) \cos^2(x) \sin x \, dx \]

افرد دالة التكامل:

\[ = \int (\cos^2(x) - \cos^4(x)) \sin x \, dx \]

استخدم التكامل بالتعويض: ليكن \( u = \cos x \)، مما يعطي \( du = -\sin x \, dx \) أو \( \sin x \, dx = -du \). التعويض عن ذلك ينتج:

\[ = - \int (u^2 - u^4) \, du \]

استخدم صيغة التكامل القياسية \( \int u^n \, du = \dfrac{1}{n+1} u^{n+1} + c \) لتقييم التكامل:

\[ - \left( \dfrac{1}{3} u^3 - \dfrac{1}{5} u^5 \right) + c = - \dfrac{1}{3} u^3 + \dfrac{1}{5} u^5 + c \]

حيث \( c \) هو ثابت التكامل.

عوض مرة أخرى بـ \( u = \cos x \) للحصول على الإجابة النهائية:

صيغة التكامل لـ \( \sin^3(x)\cos^2(x) \):
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = - \dfrac{1}{3} \cos^3(x) + \dfrac{1}{5} \cos^5(x) + c \]

المزيد من المراجع والروابط

  1. جدول صيغ التكامل
  2. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  3. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  4. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8